Золотой Фонд Математики
1. Математический анализ
Определение производной:
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]
Интеграл Гаусса:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \]
Формула Тейлора:
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]
2. Линейная алгебра и Геометрия
Собственные значения:
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
Скалярное произведение в \( L^2 \):
\[ \langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \, dx \]
3. Комплексный анализ
Тождество Эйлера (самая красивая формула):
\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]
Основная теорема о вычетах:
\[ \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, a_k) \]
4. Теория вероятностей и Статистика
Плотность нормального распределения:
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \]
5. Физико-математические уравнения
Уравнение Шрёдингера (стационарное):
\[ \hat{H}\psi = E\psi \]
Уравнения Максвелла (в вакууме):
\[ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \]
\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]
6. Теория чисел и гипотезы
Дзета-функция Римана (ключ к распределению простых чисел):
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \in \text{primes}} \frac{1}{1 - p^{-s}} \]
Формула Стирлинга (аппроксимация факториала):
\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]
7. Топология и Хаос
Эйлерова характеристика для многогранников:
\[ V - E + F = 2 \]
Аттрактор Лоренца (эффект бабочки):
\[ \begin{cases} \dot{x} = \sigma(y - x) \\ \dot{y} = x(\rho - z) - y \\ \dot{z} = xy - \beta z \end{cases} \]
8. Теория информации и Физика
Энтропия Шеннона:
\[ H(X) = -\sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log_2 P(x_i) \]
Уравнение Дирака (описывает антиматерию):
\[ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0 \]
Уравнение Навье-Стокса (динамика вязкой жидкости):
\[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} \]
9. Теория автоматического управления (ТАУ)
Описание системы в пространстве состояний:
\[ \begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) = \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t) \end{cases} \]
Передаточная функция (L-преобразование):
\[ W(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D} \]
Закон ПИД-регулирования (основа всей автоматики):
\[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int_{0}^{t} e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} \]
Второй метод Ляпунова (устойчивость систем):
\[ V(\mathbf{x}) > 0, \quad \dot{V}(\mathbf{x}) = \nabla V \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}) \leq 0 \]
Уравнение Риккати (для оптимального управления LQR):
\[ \mathbf{A}^T\mathbf{P} + \mathbf{P}\mathbf{A} - \mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{B}^T\mathbf{P} + \mathbf{Q} = 0 \]
Критерий устойчивости Найквиста:
\[ Z = N - 2P \]